Limit

Prinsip-prinsip dasar

Limit dan kecil tak terhingga

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Limit

Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya:


0<|x−p|<δ⇒|f(x)−L|<ϵ

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi "ciri-ciri Archimedes". Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.^[18]
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.^[18] Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

limx→pf(x)=L

jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

0<|x−p|<δ⇒|f(x)−L|<ϵ

Turunan

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Turunan

Grafik fungsi turunan.

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.^[1]
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h ,

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila z = x + h, h = z - x, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

f′(x)=limz→xf(z)−f(x)z−x

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Perhatikan bahwa ekspresi f(x+h)−f(x)h pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.^[1]
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x)=x2 pada titik (3,9):

f′(3)=limh→0(3+h)2−9h=limh→09+6h+h2−9h=limh→06h+h2h=limh→0(6+h)=6

Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.

Notasi pendiferensialan

Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.^[1]
Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:^[15]

dydx,dfdx(x),  ataupun  ddxf(x).

Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.
Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka y˙ mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

Dxy   atau   Dxf(x).

Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.

	Notasi Leibniz	Notasi Lagrange	Notasi Newton	Notasi Euler
Turunan ƒ(x) terhadap x	ddxf(x)	ƒ′(x)	y˙ dengan y = ƒ(x)	Dxf(x)