Integral

Artikel utama untuk bagian ini adalah:
Integral
Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b.
Integral
merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai
luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan
integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi.
Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak
tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral
adalah
∫, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari
"Sum" yang berarti penjumlahan).
[1]
Integral tertentu
Diberikan suatu fungsi
ƒ bervariabel real
x dan interval antara [a, b] pada garis real,
integral tertentu:
- ∫baf(x)dx,
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik
ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal
x =
a dan
x =
b.
Pada notasi integral di atas:
a adalah
batas bawah dan
b adalah
batas atas yang menentukan domain pengintegralan,
ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap
x pada interval [a,b], dan
dx adalah variabel pengintegralan.
Seiring
dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar
subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin
mendekati luas daerah di bawah kurva.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi
integral Riemann.
Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari "penjumlahan
Riemann". Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi
oleh fungsi
ƒ pada interval tertutup [
a,
b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [
a,
b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah
n-1 titik {
x1,
x2,
x3,...,
xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
[19]
-
- a=x0≤x1≤x2≤⋯≤xn−1≤xn=b.
Himpunan
P={x0,x1,x2,…,xn−1,xn} tersebut kita sebut sebagai
partisi [
a,
b], yang membagi [
a,
b] menjadi sejumlah
n subinterval
[x0,x1],[x1,x2],…,[xn−1,xn]. Lebar subinterval pertama [
x0,
x1] kita nyatakan sebagai Δ
x1, demikian pula lebar subinterval ke-
i kita nyatakan sebagai Δ
xi =
xi -
xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-
i tersebut kita memilih titik sembarang t
i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δ
x dan tingginya berawal dari sumbu
x sampai menyentuh titik (
ti,
ƒ(
ti)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan
ƒ(
ti)· Δ
xi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
- Sp=∑i=1nf(ti)Δxi
Penjumlahan
Sp disebut sebagai
penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b].
Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil,
hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah
yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi
∥P∥ mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
[19]
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann ∑ni=1f(ti)Δxi
apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0
apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi
dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi P={x0,x1,…,xn} di sepanjang [a,b] dengan ∥P∥<δ dan pilihan ti apapun pada [xk - 1, ti], kita dapatkan
-
- ∣∣∣∑i=1nf(ti)Δxi−I∣∣∣<ϵ.
[19]
Secara matematis dapat ditulis:
- lim∥P∥→0∑i=1nf(ti)Δxi=I=∫baf(x)dx
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah
n subinterval yang sama, maka lebar Δ
x = (
b-
a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai:
- limn→∞∑i=1nf(ti)Δx=I=∫baf(x)dx
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.
[19]
- Contoh
Sebagai contohnya, apabila hendak menghitung integral tertentu
∫b0xdx, yakni mencari luas daerah
A dibawah kurva
y=
x pada interval [0,
b],
b>0, maka perhitungan integral tertentu
∫b0xdx sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah
lim∥P∥→0∑ni=1f(ti)Δxi
Pemilihan partisi ataupun titik
ti
secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma
partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi
P membagi-bagi interval [0,
b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δ
x = (
b - 0)/
n =
b/
n dan titik
t'i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
- P={0,bn,2bn,3bn,…,nbn} dan ti=ibn, sehingga:
- ∫b0f(x)dx=limn→∞∑i=1nf(ti)Δx=limn→∞∑i=1nibn.bn=limn→∞∑i=1nib2n2=limn→∞b2n2∑i=1ni=limn→∞b2n2.n(n+1)2=limn→∞b22(1+1n)
Seiring dengan
n mendekati tak terhingga dan norma partisi
∥P∥ mendekati 0, maka didapatkan:
- ∫b0f(x)dx=A=b22
Dalam
prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai
integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak
praktis.
Teorema dasar kalkulus (
lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
[1]
Integral tak tentu
Manakala
integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan
dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan
partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol,
teorema dasar kalkulus (
lihat bagian bawah)
menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat
dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari
antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
[1]
Apabila
- F′(x)=ddxF(x)=f(x).
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
- ∫f(x)dx=F(x)+C
Ekspresi
F(x) + C adalah
antiderivatif umum ƒ dan
C adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi
f(x)=x2, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
- ∫x2dx=13x3+C
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk
∫baf(x)dx adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :
∫f(x)dx adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang
C.
Teorema dasar
Teorema
dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua
operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini
menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena
lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan
definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang
praktis dalam menghitung integral tertentu.
[1]
Teorema dasar kalkulus menyatakan:
Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka
- ∫baf(x)dx=F(b)−F(a).
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
- F′(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x).
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral
∫baxdx, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (
lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.
Anti derivatif dari fungsi
f(x)=x adalah
F(x)=12x2+C. Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu
∫baxdx adalah:
- ∫baxdx=F(b)−F(a)=12b2−12a2
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:
- ∫b0xdx=b22
Perhatikan
bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar
kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan
menerapkan definisi integral tertentu (
lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.
[1]
Aplikasi
Pola
spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk
menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer,
statistik,
teknik,
ekonomi,
bisnis,
kedokteran,
kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di
mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus.
Massa dari sebuah benda dengan
massa jenis yang tidak diketahui,
momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
[1]
Dalam subdisiplin
listrik dan
magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total aliran (fluks) dari sebuah
medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di
hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai
laju perubahan yang merujuk pada turunan:
Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.[1]
Bahkan
rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,
menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa
dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan.
Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas
Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.
[1]
di kutip di http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus
Tidak ada komentar:
Posting Komentar