Integral
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalahIntegral tertentu
Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:∫baf(x)dx,
Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari "penjumlahan Riemann". Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:[19]
-
a=x0≤x1≤x2≤⋯≤xn−1≤xn=b.
Sp=∑i=1nf(ti)Δxi
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann[19]∑ni=1f(ti)Δxi apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisiP={x0,x1,…,xn} di sepanjang [a,b] dengan∥P∥<δ dan pilihan ti apapun pada [xk - 1, ti], kita dapatkan
∣∣∣∑i=1nf(ti)Δxi−I∣∣∣<ϵ.
Secara matematis dapat ditulis:
lim∥P∥→0∑i=1nf(ti)Δxi=I=∫baf(x)dx
limn→∞∑i=1nf(ti)Δx=I=∫baf(x)dx
- Contoh
Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
P={0,bn,2bn,3bn,…,nbn} danti=ibn , sehingga:
∫b0f(x)dx=limn→∞∑i=1nf(ti)Δx=limn→∞∑i=1nibn.bn=limn→∞∑i=1nib2n2=limn→∞b2n2∑i=1ni=limn→∞b2n2.n(n+1)2=limn→∞b22(1+1n)
∫b0f(x)dx=A=b22
Integral tak tentu
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.[1]ApabilaEkspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
F′(x)=ddxF(x)=f(x).
∫f(x)dx=F(x)+C
Misalkan terdapat sebuah fungsi
∫x2dx=13x3+C
Teorema dasar
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.[1]Teorema dasar kalkulus menyatakan:
Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), makaSebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
∫baf(x)dx=F(b)−F(a).
F′(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x).
Anti derivatif dari fungsi
∫baxdx=F(b)−F(a)=12b2−12a2
∫b0xdx=b22
Aplikasi
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.[1]Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total aliran (fluks) dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.[1]
Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.[1]
di kutip di http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus
Tidak ada komentar:
Posting Komentar